Life Sciences Innovations

Palindrome – Kuriosum?

Prof. Dr. Günter Kröber*)

„Ein Esel lese nie.“ Dieser Satz mit seinem abwegigen Sinn ist ein Palindrom; von rechts nach links gelesen ist er derselbe wie von links nach rechts. Ganz allgemein gesagt sind Palindrome symmetrische Strukturen, die aus zwei identischen, aber invers aneinander gefügten Hälften bestehen, wobei die Art der Elemente, aus denen sich die Struktur aufbaut, keine Rolle spielt (Atome, Moleküle, Buchstaben, Worte, Zahlen usw.).

Im Folgenden fragen wir nach Zahlenpalindromen, und zwar zunächst danach, wie viel solcher Gebilde sich auf der Zahlengeraden befinden und wie dicht sie dort gelagert sind.

Die Frage lässt sich durch einen einfachen Blick auf die Zahlengerade leicht beantworten. Für die dekadischen Zahlen zeigt sich z.B., dass es bis einschließlich der fünfstelligen 1089 Palindrome gibt, bis einschließlich der siebenstelligen 109890, und allgemein bis einschließlich der n-stelligen 109(n-5)/289, wobei n eine ungerade Zahl ist. Die prozentuale Dichteverteilung der Palindrome auf der Zahlengeraden aber beträgt im Abschnitt von Null bis inklusive der n-stelligen für n = 5: 1,089089..., für n = 7: 0,10989 0109890.... Allgemein ist die prozentuale Dichteverteilung ein unendlicher periodischer Dezimalbruch, der durch Nullen eingeleitet wird und dessen Perioden die Gestalt 109r890r haben. Schreibt man die Perioden zentriert untereinander, beginnend mit n = 4, so erhält man folgendes Bild:

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1 89
0 89
19 89 0

109 89 0

199 89 00

1099 89 00

1999 89 000

10999 89 000

19999 89 0000

109999 89 0000 usw.

Ein Kuriosum? Mag sein, doch verweist es uns einerseits in die Palindromik, andererseits in die Molekulargenetik. Die Palindromik ist ein noch junges Wissensgebiet, dessen Gegenstand Strukturbildung durch Palindromisierung von Zahlen ist. „Palindromisierung“ meint: Eine Ausgangszahl S0 wird umgekehrt zu S0‘; beide – S0 und S0‘ – werden addiert oder voneinander subtrahiert. Mit dem Ergebnis S1 wird in der gleichen Weise verfahren. Alle Ergebnisse Sn werden sodann zentriert untereinander geschrieben, und den einzelnen Ziffern werden Farben zugeordnet: Die Null erscheint als schwarzer Pixel, die Eins als weißer, die Zwei als roter usw. Ein solcher Prozess führt im Allgemeinen zu einem dreiecksförmigen vielfarbigen Pixelchaos. Für bestimmte S0 und eine bestimmte Abfolge von Additionen (a) und Subtraktionen (s), genannt der Palindromisierungsmodus (m), kann es jedoch auch zur Ausbildung flächiger Muster und Strukturen mit bemerkenswerten Eigenschaften kommen. Welche solcher Strukturtypen bisher bekannt sind, ist in GIT, H. 10/2011 beschrieben. An dieser Stelle soll insbesondere vom Strukturtyp „Periode“ (PER) die Rede sein.

Strukturen des Typs PER zeigen folgenden Aufbau: In der Mitte einer jeden Sequenz befindet sich ein Kernabschnitt (C), der sich nach einer bestimmten Anzahl von Operationen periodisch und identisch reproduziert. Links und rechts von ihm sind ein- oder mehrstellige Sequenzen angelagert, die sich mehr oder weniger oft wiederholen und deshalb repetitive Sequenzen (Rs, Rd) heißen. Und am Anfang wird das Ganze durch eine Anfangssequenz (Origin, O) eingeleitet, ebenso wie es am Ende durch eine Endsequenz (Termination, T) abgeschlossen wird. Der allgemeine Aufbau einer solchen Sequenz ist somit: ORsCRdT.
Hier ein Beispiel. Es sei S0 = 1067 in Basis b = 8 und m = a1s2a2s2a5(12), d.h. der Prozess beginnt mit einer Addition, auf die zwei Subtraktionen, zwei Additionen, sodann nochmals zwei Subtraktionen folgen, und zum Schluss fünf Additionen. Nach jeweils 12 Operationen (= Länge des Palindromisierungsmodus) wird das jeweilige Ergebnis zentriert unter die vorigen angeschrieben. Wir erhalten:

S0: 10 67

S12: 1077 67 00

S24: 1077 67 000

S36: 10777 67 000

S48: 10777 67 0000

S60: 107777 67 0000 usw.

Und das Gleiche in Farbe (Bild 1):

Nicht immer ist das Bild jedoch so einfach und übersichtlich wie in dem gewählten Beispiel. Man betrachte etwa Bild 2, welches bezeugt, dass der Kern selbst ein komplex strukturiertes Ensemble verschiedener Sequenzen sein kann.

Bild 3a hingegen zeigt, dass repetitive Sequenzen auch mehrstellig sein können, und Bild 3b, dass in einer Struktur auch multiple repetitive Sequenzen auftreten können.

Bemerkenswert ist bis hierher die verblüffende Übereinstimmung in der Struktur der Sequenzen, die einerseits die Perioden der erwähnten unendlichen Dezimalbrüche beschreiben, und die andererseits bei Palindromisierung von Zahlen als Strukturen des Typs PER entstehen.

Nicht minder bemerkenswert aber sind die Analogien, die zwischen dem Aufbau einer Struktur vom Typ PER und der DNS bestehen [1]. Bekanntlich besteht ein DNS-Strang aus einem genetisch aktiven Abschnitt, der von Organismus zu Organismus bzw. von Generation zu Generation identisch weitergegeben wird; er ist links und rechts von sich viele Male wiederholenden, kleineren oder größeren Sequenzen umgeben und wird von speziellen Anfangs- und Endsequenzen begrenzt.

Der Kern einer Struktur vom Typ PER reproduziert sich identisch von Periode zu Periode; er ist in dieser Hinsicht vergleichbar mit dem genetisch aktiven Abschnitt der DNS-Sequenz.

Strukturelle Übereinstimmungen sind auch in den repetitiven Sequenzen aufweisbar. Hier wie da gibt es sie in unterschiedlicher Länge und Struktur. In der Palindromik unterliegt ihre Länge keiner Beschränkung. In der Molekulargenetik gruppiert man die tandemartig aufeinander folgenden Sequenzen in höchst- und hochrepetitive (Satelliten-DNS), welche bis zu hundert Basenpaare umfassen, des Weiteren Minisatelliten-Sequenzen, welche bis zu fünfzehn Basenpaare umfassen, und schließlich mäßig- bis niedrigrepetitive (Mikrosatelliten-Sequenzen), welche aus zwei bis fünf Nukleotid-Repetitionen bestehen.

Die Molekulargenetik kennt repetitive Sequenzen sowohl außerhalb als auch innerhalb von Genen. Dasselbe Phänomen beobachten wir beim Typ PER in der Palindromik, wenn ein Kern entweder von repetitiven Sequenzen umschlossen wird oder selbst repetitive Bereiche enthält.

Auch das Phänomen der multiplen repetitiven Sequenzen taucht in der Molekulargenetik auf: In der DNS von Individuen ein und derselben Art koexistieren nicht selten mehrere verschiedene Satelliten-DNS.

In der Molekulargenetik ist es legitim, nach der Funktion der repetitiven Sequenzen zu fragen. Da es sich bei ihnen um nichtcodierende Abschnitte der DNS handelt, schien es zunächst, als seien diese Sequenzen ohne jede Funktion im Evolutionsprozess; sie galten deshalb lange Zeit als genetischer Müll, als „Junk-DNA“. Neuere Erkenntnisse lassen indes vermuten, dass sie bestimmte Regulierungs- und Stabilisierungsfunktionen im Hinblick auf das genetische Material ausüben. Aus der Sicht der Palindromik bieten sich hier zwei Anmerkungen an: 1. Da die Anzahl repetitiver Sequenzen im Verlaufe des Prozesses stetig wächst, ist sie um so größer, je länger der Prozess bereits dauert. Molekulargenetisch würde dies bedeuten, dass aus der Anzahl repetitiver Sequenzen in der DNS eines Individuums einer bestimmten Art auf das Evolutionsalter dieser Art geschlossen werden könnte.

2. In Bild 4 sei eine Struktur vom Typ PER vorgestellt, bei der mehrstellige und schräge repetitive Sequenzen über eine Zwischenstufe hinweg in Kernstrukturen umgewandelt werden. Würde es eine molekulargenetische Entsprechung zu diesem Phänomen geben, so wären die als „genetischer Müll“ denunzierten DNS-Abschnitte in Wirklichkeit eine Art genetischer Reserve, die im Verlaufe der Evolution Schritt für Schritt in codierendes Material mutieren könnte.

Die Frage nach den OT-Sequenzen und ihrer Entsprechung in der Molekulargenetik bleibe hier ausgeklammert, wenngleich auch sie positiv beantwortet werden kann.

Mit solchen Vergleichen sollen nicht billige und fragwürdige Analogien in die Welt gesetzt werden, die weder für die Molekulargenetik noch für die Palindromik von Interesse und von Nutzen wären. Strukturelle Analogien sind ja keine funktionalen. Dennoch ist es keineswegs trivial, dass in einer Struktur, die das Ergebnis einer Milliarden Jahre dauernden Evolution in der Natur ist, die gleichen Substrukturen aufweisbar sind wie in einer, die im Ergebnis eines digitalen Palindromisierungsprozesses entsteht. Das Geheimnis der Gemeinsamkeit und damit die Crux der Evolution in beiden Fällen heißt wohl Iteration.

Um welche Art von Gemeinsamkeit es sich jedoch jeweils handelt und zu welchen Schlüssen sie berechtigt – dies für den jeweiligen Wissensbereich herauszufinden, bleibt Sache der Forschung, und zwar der disziplinären wie der interdisziplinären.

Daten der Abbildungen:

Nr. S0 b m Z1

__

1 1067 8 a1s2a2s2a5(12) m1
2 1067 8 (a1s2)2(a1s1)2(a3s3)2a1s2(25) m1
3a 10(16)(17) 18 (s2a1)2(a1s2)2(a1s1)19(50) 2m1
3b 1067 8 s2a1s2a2s1a2(a1s1)30s2a1(73) 2m1
4 10(16)(17) 18 (a2s4)43s3a1s1(a3s3)6(299) 4m1

*) Prof. Dr. Günter Kröber

  1. Max-Lingner-Str. 5c, 13189 Berlin, Tel: 030/4710585, E-Mail: guenter.kroeber@fuxbau.net

Literatur:

  1. Vgl. hierzu auch: Kröber, Günter: Ein Esel lese nie. Mathematik der Palindrome. Rowohlt 2003. Kap.12.
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